Normal Approximation terhadap Binomial Distributions

 Teorema 1. (Pendekatan Poisson untuk Binomial) Ketika n besar tetapi p kecil, sehingga np=\lambda, p.m.f. dari distribusi Binomial(n, p) konvergen (berarah titik) ke p.m.f. dari distribusi \text{Poisson}(\lambda).

Versi yang lebih umum: Jika X_n\sim \text{Binomial}(n, p_n) di mana \lim_{n\to\infty} np_n=\lambda\in (0,\infty), maka X_n konvergen dalam distribusi ke X, di mana X\sim \text{Poisson}(\lambda), yaitu, \displaystyle \lim_{n\to\infty} P(X_n\le k)=P(X\le k) berlaku untuk setiap k\in\mathbb{ R}.

Teorema 2. (Teorema De Moivre–Laplace) Jika (Y_k)_{k\geq 1} adalah barisan i.i.d. \text{Bernoulli}(p) variabel acak, kemudian \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\sum_{k=1}^n Y_k - np\right) konvergen dalam distribusi ke \text{Normal }(0,\sigma^2) di mana \sigma^2 = p(1-p).

Tentu saja di atas hanyalah kasus khusus dari teorema Limit Pusat klasik, dan dapat digeneralisasikan dalam banyak cara.

Tujuan kami di sini bukan untuk membahas bukti teorema di atas (yang lebih baik dipelajari dari buku dan/atau instruktur). Sebaliknya, kami ingin menjelajahi cara kerjanya – secara praktis. Mari cari tahu!

Diketahui bahwa jika n besar, p kecil sehingga np bernilai sedang maka distribusi Binomial(n,p) dapat didekati dengan distribusi Poisson(np). Pernyataan yang tepat diberikan dalam teorema 1 di atas.

Secara alami, pertanyaan-pertanyaan berikut muncul di benak kita: seberapa besar seharusnya n? Apakah ini akan berfungsi untuk p apa pun? Seberapa bagus aproksimasinya?

Menggunakan Desmos, saya telah membuat grafik (klik di sini) untuk menunjukkan kepada Anda bagaimana pendekatan bekerja untuk nilai n dan p yang berbeda. Di bawah ini adalah beberapa contoh aproksimasi dengan beberapa nilai spesifik n dan p.

Diagram di bawah menunjukkan peluang Binomial(n, p) untuk n=50, p=0,3. Pada grafik yang sama, kita melihat aproksimasinya dengan distribusi Poisson(np).

Aproksimasi tampaknya tidak begitu baik. Bagaimana jika kita meningkatkan n, memperbaiki p pada 0,3? Diagram di bawah ini sesuai dengan n=80, p=0,3.

Jadi, peningkatan n tidak membuat aproksimasi menjadi baik. Sebaliknya, jika kita memperbaiki n pada 50 dan menurunkan p, maka aproksimasi menjadi lebih baik: (diagram di bawah sesuai dengan n=50, p=0.1)

Mari kita lihat apa yang terjadi jika kita menambah n dan mengurangi p. Diagram di bawah ini sesuai dengan n=100, p=0.1.

bagaimana jika n besar dan p mendekati 1 (bukannya mendekati 0)? Diagram di bawah ini sesuai dengan n=100 dan p=0,75.

Kesimpulanya Pendekatan Poisson(np) untuk Binomial(n,p) tidak begitu baik jika p mendekati 0,5. Adalah baik jika n besar dan p mendekati 0. Seberapa dekat p seharusnya dan seberapa besar n seharusnya, tergantung pada seberapa akurat yang kita inginkan. Secara umum, jika p\le 0.1 dan n\ge 50, aproksimasinya cukup baik.

Apakah Anda ingin mengamatinya untuk lebih banyak nilai n dan p? Anda dapat mengklik di sini dan mengubah n dan p (dengan menggerakkan bilah geser) untuk mengamatinya sendiri.

Contoh kehidupan nyata: Misalkan saat mengetik draf untuk buku sepanjang 300 halaman, juru ketik melakukan 40 kesalahan. Proof-reader sangat malas. Dia ingin memeriksa 50 halaman pertama dan 50 halaman terakhir saja. Berapa peluang dia akan menemukan kurang dari 15 kesalahan? (Asumsikan bahwa kesalahan pengetik kurang lebih tersebar merata di seluruh buku.)

Solusi: Rata-rata jumlah kesalahan per halaman adalah 40/300=0,133. Dengan asumsi bahwa jumlah kesalahan di setiap halaman mengikuti Ber (0,133) secara independen dari halaman lain, jumlah kesalahan yang akan ditemukan oleh proof-reader (sebut saja X) mengikuti distribusi Binomial (100.0.133). Peluang bahwa X kurang dari 15 adalah \displaystyle \sum_{k=0}^{14} \binom{100}{k} 0,133^k(1-0,133)^{100-k} =0,649. Jumlah terakhir sulit untuk dievaluasi bahkan dengan menggunakan kalkulator genggam. Namun, karena n=100 besar dan p=0,133 kecil, kita dapat memperkirakannya menggunakan distribusi Poisson. Jika Y mengikuti distribusi Poisson dengan mean = 100\times 0.133=13.3 maka \displaystyle P(Y<15)=\sum_{k=0}^{14} e^{-13.3} \frac{13.3^k}{k !} =0,644. Perhatikan bahwa jumlah ini lebih mudah dihitung daripada jumlah sebelumnya.

Nama: Rifqi maulana batriandi

Npm: 19316087