Tendensi SentralPage, Keberagaman/Sebaran DataPage, Posisi DataPage

Tendensi Sentral (Central Tendency) 

Tendensi sentral adalah sering djadikan acuan memahami distribusi dari suatu data, dianggap sebagai sumber informasi penting yang menggambarkan distribusi suatu gejala atau fenomena. Di dalam modul ini akan dijelaskan apa yang dimaksud dengan tendensi sentral, fungsi dari tendensi sentral, cara menentukan suatu tendensi sentral, serta kapan suatu tendensi sentral digunakan

Distribusi Data Dalam analisa statistika, dikenal berbagai jenis distribusi data. 

Mean (Rata-rata) 

Mean atau Rata-rata adalah pengukuran tendensi sentral yang paling sering digunakan. Hal ini berkaitan dengan nilai mean atau rata-rata yang relatif dianggap lebih mudah ditemukan dengan melakukan fungsi pembagian pada hasil penjumlahan nilai-nilai (score) yang ada pada data terhadap jumlah total frekuensi kemunculan nilai pada data tersebut. Untuk lebih mudah dipahami, nilai mean atau rata-rata dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut:

Keterangan:

Pengukuran Mean atau Rata-rata dari Data Tidak Terkelompok (Ungrouped data) Pengukuran Mean  atau Rata-rata pada data yang tidak berkelompok dapat langsung dilakukan dengan menggunakan rumus dasar perhitungan mean seperti yang tertera di atas:

keterangan :

CONTOH: Tentukan mean atau rata-rata dari tabel distribusi frekuensi berikut ini: 

X          f             fX 

5          2            10 

4          6            24 

3          5            15 

2          4              8 

1          3              3 

Σ         20           60

Untuk data dengan skala interval, pengukuran mean atau rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan mean atau rata-rata terkaan. Rumus yang dapat digunakan yaitu: 

X = Xs + (Σ fx’) i                    

             N 

X      =  Rata-rata 

Xs    =  Rata-rata Terkaan (nilai tengah  dari interval kelas yang diduga mengandung rata-rata. 

Σ fx’ =  frekuensi dari durasi kesalahan terkaan (x’) 

i       =  Lebar interval kelas 

N     =  Jumlah frekuensi

CONTOH: 

       X            f            Mid Point         x’               f . x’ 

177-179        1                178            + 18                18 

174-176        1                175            + 15                15 

171-173        5                172            + 12                60 

168-170        1                169              +9                  9 

165-167       10               166              +6                 60 

162-164        9                163              +3                 27 

159-161       16               160               0                  0 

156-158       11               157             - 3                - 33 

153-155       13               154             - 6                - 78 

150-152        7                151             - 9                - 63 

147-149        3                148            - 12               - 36 

144-146       1                 145            - 15               - 15 

78 

X = Xs + (Σfx’) i = 160 + (-36) 3 = 160 – 1,38 = 158, 62 

                             N                       78

Pengukuran Mean atau Rata-rata dari sejumlah Nilai Rata-rata

BRX  = nilai rata-rata sejumlah nilai rata-rata 

SNi   = jumlah frekuensi masing-masing kelompok data 

Xi    = nilai rata-rata setiap kelompok

CONTOH: 

Carilah mean dari sejumlah nilai mean  di bawah ini: 

Kelompok            Ni               Xi 

        A                   60              163 

        B                   62              163 

        C                   65              165

 MEDIAN

Adalah nilai data observasi yang berada di tengah-tengah urutan data tersebut, atau data observasi yang membagi data observasi yang sudah diurutkan menjadi 2 bagian yang sama banyak.

Nilai median data observasi diberi symbol Md

Ada 2 macam Median :

a.       Median data observasi tidak berkelompok, dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

o   Urutkan data observasi dari kecil ke yang besar

o   Tentukan letak median dengan rumus

   

o   Tentukan nilai median

Contoh :

Data Ganjil

Berikut ini adalah skor tes prestasi 9 karyawan PT. Probo :

78        56        66        94        48        82        80        70        76

Median skor tes 9 karyawan tersebut ditentukan dengan cara :

Median skor tes 9 karyawan tersebut ditentukan dengan cara :

No urut	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Nilai	48	56	66	70	76	78	80	82	94

Letak Median : 9 + 1

                       2

                        : 5

jadi letak median pada urutan data ke 5

 Data Genap

            Berikut ini adalah skor tes prestasi 10 karyawan PT probo

            78        56        66        94        48        82        80        70        76        96

            Median skor tes 10 karyawan tersebut ditentukan dengan 2 cara :

No urut	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Nilai	48	56	6	70	76	78	80	82	94	96

Letak median : 10 + 1

2

                        : 5.5

Jadi letak median pada urutan data 5.5 atau terletak di antara no urut 5 dan 6 kemudian di bagi 2

Median (Md) = 76 + 78  = 77

                          2

b.      Median data observasi berkelompok, dapat ditentukan dengan langkah-langkah :

o   Tentukan kelas median dengan rumus

Kelas Median : N

                    2                         

o   Tentukan median dengan rumus

Contoh berikut ini data mengenai laba PT Probo bulan April 2006

         Langkah untuk menentukan median :

o   Letak median =                        

Jadi kelas median adalah kelas yang ditempati oleh frekuensi kumulatif 15

   Frekuensi kumulatif berada di kelas no 3

o   Menentukan Median dengan rumus

      

3.      MODUS (Mo)

a.       Merupakan suatu nilai yang paling sering muncul (nilai dengan frekuensi muncul terbesar)

b.      Jika data memiliki dua modus, disebut bimodal

c.       Jika data memiliki modus lebih dari 2, disebut multimodal

Ada2 macam modus :

a.       Modus data observasi tidak berkelompok

Contoh :

o   Berikut ini skor tes prestasi PT Probo :

70  56        66        70        48        82        80        70        76        70

frekuensi terbesar adalah 70 yaitu ada 3 orang

jadi modus skor prestasi karyawan PT. Probo : 70

o   Berikut adalah data sampel tentang nilai sewa bulanan untuk satu kamar apartemen ($). Berikut adalah data yang berasal dari 70 apartemen di suatu kota tertentu:

 

  Rata-rata Hitung (Mean)

 

  Median

Karena banyaknya data genap (70), maka median merupakan rata-rata nilai ke-35 dan ke-36, yaitu

      (475 + 475)/2 = 475

  Modus = 450 (muncul sebanyak 7 kali)

b.      Modus data observasi berkelopok, dapat ditentukan sebagai berikut :

o   Tentukan kelas modus yaitu yang mempunyai frekuensi terbesar.

o   Tentukan modus dengan rumus.

     

Contoh :Berikut ini data mengenai laba PT. Probo bulan April 2006

Dari contoh Bengkel Hudson Auto

DATA BERKELOMPOK (L)

Rata-rata Hitung (Mean)

–        Kelebihan:

   Melibatkan seluruh observasi

  Tidak peka dengan adanya penambahan data

  Contoh dari data :      

                     34          5          9          11                                Rata-rata = 6,4

                     34          5          9          10        11                    Rata-rata = 7

 

–        Kekurangan:

   Sangat peka dengan adanya nilai ekstrim (outlier)

  Contoh: Dari 2 kelompok data berikut

                     Kel. I      :           3          4          5          9          11                    Rata-rata = 6,4

                     Kel. II    :           3          4          5          9          30                    Rata-rata = 10,2

 

nMedian

–        Kelebihan:

  Tidak peka terhadap adanya nilai ekstrim

  Contoh: Dari 2 kelompok data berikut

                     Kel. I      :           3          4          5          13        14

                     Kel. II    :           3          4          5          13        30

                     Median I = Median II = 5         

–        Kekurangan:

  Sangat peka dengan adanya penambahan data (sangat dipengaruhi oleh banyaknya data)

  Contoh: Jika ada satu observasi baru masuk ke dalam kelompok I, maka median = 9

 Modus

–        Kelebihan:

  Tidak peka terhadap adanya nilai ekstrim

  Contoh: Dari 2 kelompok data berikut

                     Kel. I      :           3          3          4          7          8          9

                     Kel. II    :           3          3          4          7          8          35

                     Modus I = Modus II = 3

–        Kekurangan:

  Peka terhadap penambahan jumlah data

  Contoh: Pada data     

                        3          3          4          7          8          9                                  Modus = 3

                        3          3          4          7          7          7          8          9          Modus = 7

 

Hubungan antara Mean, Median, dan Modus

Mean, median, dan modus dapat digunakan untuk mengetahui kemiringan kurva poligon distribusi frekuensi data observasi.

 Standar Deviasi (Simpangan Baku)

Simpangan baku adalah suatu nilai yang menunjukan tingkat (derajat) variasi kelompok atau ukuran standar penyimpangan dari reratanya. Simbol simpangan baku populasi (σ atau σn) sedangkan untuk sampel (s, sd atau σn-₁)

a.         Simpangan Baku Data Tunggal

 

Data nilai ujian Teknik Pondasi mahasiswa Reguler Semester 4

 

b.     Simpangan Baku Data Berkelompok

 

 

DEFINISI PENGUKURAN LETAK DATA

     ukuran letak merupakan ukuran untuk melihat dimana letak salah satu data dari sekumpulan banyak data yang ada. yang termasuk ukuran lokasi (ukuran letak) antara lain adalah kuartil, desil dan persentil.

KUARTIL

Kuartil adalah nilai-nilai yang membagi data yang telah diurutkan kedalam 4 bagian yang sama besar. Kuartil dinotasikan dengan notasi Q. Kuartil terdiri dari 3, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2), dan kuartil ketiga (Q3).

Contoh 

Berikut ini adalah data panjang jalan di sebuah daerah dalam satuan kilometer.

5, 6, 7, 3, 2

Hitunglah kuartil dari data panjang jalan tersebut?

Jawab:

DESIL

    Jika kumpulan data itu dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama, maka didapat sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan desil.

 

RUMUS

 Contoh

Misalkan kita ingin mencari desil ke-1, ke-5, dan ke-9 atau D1, D5, dan D9 dari data yang tertera pada table yang telah dihitung Q1, Q2, dan Q3-nya itu.

• Ø Mencari D1:

Titik D1= 1/10N= 1/10X60= 6 (terletak pada skor 37). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 5,50; fi= 4, dan fkb= 3.

D1= 1 + (1/10N-fkb) —D1=36,50 (6-3)

Fi                                 4

= 36,25

• Ø Mencari D5:

Titik D5= 5/10N= 5/10X60= 30 (terletak pada skor 40). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 39,50; fi= 12, dan fkb= 18.

D1= 1 + (5/10N-fkb) —D1=39,50 (30-18)

Fi                                 12

= 40,50

• Ø Mencari D9:

Titik D9= 9/10N= 9/10X60= 54 (terletak pada skor 44). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 43,50; fi= 3, dan fkb= 53.

D1= 1 + (9/10N-fkb) —D1= 43,50 (54-53)

Fi                                 3

= 43,17

PERSENTIL

Persentil yang biasa dilambangkan P, adalah titik atau nilai yang membagi suatu distribusi data menjadi seratus bagian yang sama besar. Karena itu persentil sering disebut ukuran perseratusan.

RUMUS

Pn= 1 +(n/10N – fkb)

Fi

Untuk data kelompok:

Pn= 1+ (n/10N- fkb) xi

Fi

Contoh

Misalkan kita ingin mencari persentil ke-5 (P5), persentil ke-20 (P20), dan ke-75 (P75),dari data yang disajikan pada tabel 3.13 yang telah dihitung desilnya itu. Cara menghitungnya adalah sebagai berikut:

• Ø Mencari persentil ke-5 (P5):

Titik P5= 5/10N= 5/10X60= 3 (terletak pada skor 36). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 35,50; fi= 2, dan fkb= 1.

P5= 1 + (5/10N-fkb) =36,50 +(3-1)

Fi                        2

= 36,50

• Ø Mencari persentil ke-75 (P75):

Titik P75= 75/10N= 75/10X60= 45 (terletak pada skor 42). Dengan demikian dapat kita ketahui: 1= 41,50; fi= 8, dan fkb= 40

P75= 1 + (75/10N-fkb) =41,50 +(45-40)

Fi                           8

= 42,125

Ukuran penyebaran data merupakan ukuran yang menunjukkan seberapa jauh suatu data  menyebar dari rata-ratanya. Ukuran penyebaran data yang ada dalam materi statistika meliputi jangkaun, hamparan, dan kuartil.

Apa itu yang di maksud dengan jangkaun, hamparan, dan kuartil, berikut penjelasan nya :

• Jangkauan atau rentang ialah selisih antara nilai data besar dan nilai data terkecil.
• Hamparan atau Jangkauan Antar Kuartil (JAK) merupakan selisih antara kuartil atas (Q3) dengan kuartil bawah (Q1).
• Kuartil adalah pembagian sejumlah data terurut menjadi samajumlah nya untuk setiap bagian. Setiap bagian dipisahkan oleh nilai kuartil yang meliputi kuartil bawah (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil atas (Q1).

Terdapat ukuran penyebaran data yang kita akan pelajari pada artikel ini, yaitu Jangkauan (range), Simpangan rata-rata, Ragam (variasi), dan Simpangan Baku.

Jangkauan atau Rentang atau Range

Pada data tunggal, nilai maksimal dan minimal dapat kita diketahui dengan mudah. kemudian bagaimana dengan data kelompok? Jangkauan merupakan selisih data terbesar dan data terkecil. Jangkauan sering dilambangkan dengan R.

Jangkauan Data

R = xmaks – xmin

Keterangan:
R = jangkauan
Xmaks = data terbesar
Xmin = data terkecil

Contoh Soal Jangkauan Data

Tentukan jangkauan dari data : 3,6,10,5,8,9,6,4,7,5,6,9,5,2,4,7,8.

Jawab :

R = xmaks – xmin
= 10-2 = 8

Jadi, jangkaun data tersebut adalah 8.

Jangkauan interkuartil

Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama.
H = Q3 – Q1

Keterangan :
H = jangkauan interkuartil
Q3 = kuartil ketiga
Q1 = kuartil pertama

Simpangan kuartil ( jangkauan semi interkuartil)

Simpangan kuartil adalah setengah dari selisih kuartil ketiga dan kuartil pertama.
Sk = ½ Q3 – Q1

Keterangan :
Sk = simpangan kuartil
Q3 = kuartil ketiga
Q1 = kuartil pertama

Simpangan Rata- Rata

Simpangan rata-rata merupakan nilai rata-rata dari selisih setiap data dengan nilai mean atau rataan hitungnya. Simpangan rata-rata sering dilambangkan dengan SR.

Data Tunggal

 

 

 

Keterangan :
SR = simpangan rata-rata
Xi = data ke-i
X = rataan hitung
n = banyak data

Data Bergolong (Berkelompok)

 

 

 

 

Keterangan :
SR = simpangan rata-rata
Xi = data ke-i
X = rataan hitung
fi = frekuensi data ke-i

---

Ragam atau Variasi

Ragam atau variasi adalah nilai yang menunjukkan besarnya penyebaran data pada kelompok data. Ragam atau variasi dilambangkan dengan s2.

Variasi untuk data tunggal

 

 

 

Keterangan :
s2= variasi
xi = data ke –i
x = rataan hitung
n = banyak data

Variasi untuk data bergolong (berkelompok)

 

 

 

Keterangan :
s2= variasi
xi = data ke –i
x = rataan hitung
fi = frekuensi data ke-i

---

Simpangan Baku

Simpangan baku atau disebut juga deviasi standar merupakan akar dari jumlah kuadrat diviasi dibagi banyaknya data. Simpangan baku sering dilambangkan dengan s.

Simpangan baku untuk data tunggal

 

 

 

 

Keterangan :
S = simpangan baku
xi = data ke –i
x = rataan hitung
n = banyak data

Simpangan baku untuk data bergolong

 

 

 

 

Keterangan :
s = simpangan baku
xi = data ke –i
x = rataan hitung
fi = frekuensi data ke-i

Hamparan (H) Atau Jangkauan Antar Kuartil (JAK)

Nilai hamparan dari sebuah data dapat dengan mudah kita cari, Yakni:

JAK = Q3-Q1

---

Kuartil

• Kuartil adalah fraktil yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi empat bagian yang sama
• Jenis kuartil yaitu Kuartil bawah atau Q1,kuartil tengah atau Q2 dan kuartil atas atau Q3
• Kelompok kuartil bersadarkan jenis data yaitu kuartil data tunggal dan kuartil data kelompok

Di bawah ini adalah ulasan mengenai data kuartil yang meliputi simpangan kuartil, rataan kuartil, rataan tiga kuartil, dan statistika lima serangkai.

• Simpangan kuartil atau sering disebut juga dengan jangkauan semi antarkuartil merupakan nilai yang menunjukkan setengah kali dari hamparan. Didapat dengan cara mengurangkan kuartil bawah dengan kuartil atas kemudian membagi dengan 2 (dua).
• Rataan kuartil adalah rata-rata dari kuartil atas dan kuartil bawah. Cara mendapatkan rataan kuartil adalah dengan menjumlahkan kuartil atas dan kuartil bawah kemudian membaginya dengan 2 (dua).
• Rataan tiga kuartil adalah rata-rata dari tiga nilai kuartil yang terdiri ara kuartil atas, kuartil tengah, dan kuartil bawah. Cara mendapatkan rataan kuartil adalah dengan menjumlahkan ketiga kuartil kemudian membaginya dengan 2 (dua).
• Sedangkan statistika merupakan data yang terdiri atas lima nilai, yaitu nilai tertinggi xmax, nilai terendah xmin, kuartil atas (Q1), kuartil tengah (Q2), dan kuartil bawah (Q3).

---

Contoh Soal

Tentukan jangkauan dari data : 3,6,10,5,8,9,6,4,7,5,6,9,5,2,4,7,8.

Jawab :

R = xmaks – xmin
= 10-2 = 8

Jadi, jangkaun data tersebut adalah 8.